Тригонометрический круг – это особая диаграмма, которая позволяет наглядно представить значение синуса и косинуса для всех углов. Он состоит из окружности с радиусом единица, с центром в точке (0,0), и углом поворота измеряемым против часовой стрелки. Круг делится на 360 равных частей, соответствующих градусам.
Каждая точка на окружности тригонометрического круга имеет свои координаты (x,y). При этом x-координата точки равна косинусу угла, а y-координата равна синусу угла. Таким образом, можно утверждать, что косинус угла определяется его горизонтальной координатой, а синус угла – вертикальной координатой.
Синус и косинус: определение и свойства
| Угол (в градусах) | Синус | Косинус |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 30 | 0.5 | √3/2 |
| 45 | √2/2 | √2/2 |
| 60 | √3/2 | 0.5 |
| 90 | 1 | 0 |
| 180 | 0 | -1 |
| 270 | -1 | 0 |
| 360 | 0 | 1 |
Синус угла (обозначение: sin) — это отношение противоположной стороны (вертикального отрезка) к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
Косинус угла (обозначение: cos) — это отношение прилежащей стороны (горизонтального отрезка) к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
Свойства синуса и косинуса:
- Значение синуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1.
- Значение косинуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1.
- Синус угла равен косинусу его дополнения (угол, который составляет с данным углом прямую).
- Синус и косинус угла являются периодическими функциями с периодом 360 градусов (или 2π радиан).
- Синус и косинус угла равны друг другу при угле 45 градусов (или π/4 радиан).
- Синус и косинус угла равны нулю при угле 90 градусов (или π/2 радиан).
Служащие основой тригонометрии
Синус (sin) и косинус (cos) определены для всех углов в тригонометрическом круге. Синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника, а косинус угла – как отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Круг, в котором эти функции определены, называется тригонометрическим кругом. Он представляет собой единичную окружность с радиусом 1, с центром в начале координат. Углы в этом круге измеряются в радианах или градусах.
Синус и косинус имеют периодичность и симметрию относительно начала координат. Синус достигает максимального значения 1 при угле π/2 и минимального значения -1 при угле 3π/2. Косинус, напротив, достигает максимального значения 1 при угле 0 и минимального значения -1 при угле π.
Основные свойства синуса и косинуса часто используются при решении задач и изучении графиков функций. Они позволяют определить значения функций для любого угла в тригонометрическом круге и легко записать соотношения между углами.
Определение синуса и косинуса
Синус угла можно определить как отношение противолежащего катета к гипотенузе треугольника. Символическое обозначение для синуса — sin.
Косинус угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе треугольника. Обозначение для косинуса — cos.
Значения синуса и косинуса всегда находятся в диапазоне от -1 до 1. Они могут быть отрицательными или положительными в зависимости от четверти угла в тригонометрическом круге.
Синус и косинус являются периодическими функциями с периодом 2π. Это означает, что значения функций повторяются через равные интервалы на тригонометрическом круге.
Знание значения синуса и косинуса позволяет изучать и анализировать различные физические явления, такие как колебания, звук и свет.